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值域_求值域的方法大全及习题加详解.doc

值域_求值域的方法大全及习题加详解

crowsar
2012-08-17 0人阅读 告发 0 0 暂无简介

简介:本文档为《值域_求值域的方法大全及习题加详解doc》,可适用于高等教育范畴

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求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目差异,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的差异这里我主要弄几个出来,大众一起看一下吧函数的值域取决于定义域和对应法则求函数的值域要当心优先考虑定义域·经常使用求值域方法()、干脆观察法:利用已有的根基函数的值域观察干脆得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察干脆得到。例、求函数的值域。((()例、求函数的值域。((()答案:值域是:【同步练习】函数的值域((()解:()、配方法:二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题均可用配方法而后一情况要当心的范畴、配方法是求二次函数值域最根基的方法之一。例、求函数的值域。((()例、求函数的值域。(((()解:将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=时当时故函数的值域是:例、求。((((()(配方法、换元法)解:………所以当时有最小值。故所求函数值域为∞)。例、设求函数的值域.解:.当时函数取得最小值当时函数取得最大值函数的值域为.评注:配方法往往需结合函数图象求值域.例、求函数的值域。((((()(配方法、换元法)解:=所以故所求函数值域为EQF(,)∞。例、求函数的值域。(((()(配方法)。【同步练习】(((()、求二次函数()的值域((()、求函数的值域(((()、求函数的最大值与最小值((((()、求函数的最大值和最小值(((()、已知求函数的值域(((()、若EMBEDEquation,试求的最大值。((((()最大值。()、换元法:(三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质发现解题方向这就是换元法.在求值域时我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数从而求得原函数的值域.例、求的值域.解:令则所以函数值域为.评注:利用引入的新变量使原函数消去了根号转化成了关于的一元二次函数使问题得以处理.用换元法求函数值域时务必确定新变量的取值范畴、它是新函数的定义域.小结:【同步练习】求函数的值域。解:由得。令得于是因为所以。故所求函数值域为∞EQF(,)。例、求函数的值域。解:设则。所以故所求函数值域为。【同步练习】求函数的值域。解:由可得故可令∵当时当时故所求函数的值域为:小结:【同步练习】、求函数的值域((()、求函数的值域。((((()解:因即故可令∴∵故所求函数的值域为、已知函数的值域为求函数的值域(((()()、函数有界性法(方程法)干脆求函数的值域困难时可以利用已学过函数的有界性来确定函数的值域。我们所说的单调性最经常使用的就是三角函数的单调性。例、求函数的值域。解:因为所以则由于所以解得。故所函数的值域为EQF(,)。求函数的值域例、求函数的值域。解:因为所以即所以令得由解得故所函数的值域为EQF(,)。【同步练习】求函数的值域()、数形结合法(函数的图像):对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况再有的放矢地通过函数解析式求函数最值确定函数值域用数形结合法使运算过程大大简化.其题型是函数解析式具备明显的某种几何意义如两点的距离公式直线斜率等等这类题目若运用数形结合法往往会更加简单一目了然赏心悦目。例、求函数的值域.分析:求分段函数的值域可作出它的图象则其函数值的整体变化情况就一目了然了从而可以快速地求出其值域.解:作图象如图所示.函数的最大值、最小值分别为和即函数的值域为.例、求函数的值域解:原函数可化简得:上式可以看成数轴上点P(x)到定点A()间的距离之和。由上图可知当点P在线段AB上时当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时故所求函数的值域为:例、求函数的值域解:原函数可变形为:上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和由图可知当点P为线段与x轴的交点时故所求函数的值域为例、求函数的值域解:将函数变形为:上式可看成定点A()到点P(x)的距离与定点到点的距离之差。即:由图可知:()当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时如点则构成遵循三角形两边之差小于第三边有即:()当点P恰好为直线AB与x轴的交点时有综上所述可知函数的值域为:注:由例可知求两距离之和时要将函数式变形使A、B两点在x轴的两侧而求两距离之差时则要使AB两点在x轴的同侧。如:例的AB两点坐标分别为:()在x轴的同侧例的AB两点坐标分别为()在x轴的同侧。?【同步练习】、求函数的值域、求函数的值域、求函数的值域 、求函数的最大值()均值不等式法:利用根基关系两个正数的均值不等式在应用时要当心“一正二定三相等”利用根基不等式求函数的最值其题型特征解析式是和式时条件积为定值解析式是积时条件和为定值不过有时具备用到拆项、添项和两边平方等技巧。例、求函数的值域解:原函数可化为当且仅当时取等号故值域为例、求函数的值域解:原函数变形为:当且仅当即当时等号缔造故原函数的值域为:()、根判别式法:对于形如(差异时为)的函数常采用此法就是把函数转化成关于的一元二次方程(二次项系数不为时)通过方程有实数根从而根的判别式大于等于零求得原函数的值域.对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:例、求函数的值域.解:原函数化为关于的一元二次方程.()当时解得()当时而.故函数的值域为.评注:①在解此类题的过程中要当心讨论二次项系数是否为零②使用此法须在或仅有个别值(个别值是指使分母为的值处理方法为将它们代入方程求出相应的值若在求出的值域中则应除去此值)不能取的情况下否则不能使用如求函数的值域则不能使用此方法. 例、求函数的值域解:两边平方整理得:()∵∴解得:但此时的函数的定义域由得由仅确保关于x的方程:在实数集R有实根而不能确保其实根在区间上即不能确保方程()有实根由求出的范畴、可能比y的实际范畴、大故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵代入方程()解得:即当时原函数的值域为:注:由判别式法来鉴定函数的值域时若原函数的定义域不是实数集时应综合函数的定义域将扩大的部分剔除。?【同步练习】、求函数的值域、求函数的值域、函数的定义域为值域为求的值、设函数的值域为求a,b、已知函数y=f(x)=的值域为,,求实数b,c的值()、分离常数法:对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题因为分子分母都有变量利用函数单调性确定其值域较困难因此我们可以采用凑配分子的方法把函数分离成一个常数和一个分式和的形式而此时的分式只有分母上含有变量进而可利用函数性质确定其值域.例、求函数的值域.解:..函数的值域为.求的值域解:(利用部分分式法)由可得值域小结:已知分式函数如果在其自然定义域(代数式本身对变量的条件)内值域为如果是条件定义域(对自变量有附加条件)采用部分分式法将原函数化为用复合函数法来求值域。()、倒数法有时干脆看不出函数的值域时把它倒过来之后你会发现另一番境况例、求函数的值域多种方法综合运用总之在具体求某个函数的值域时首先要仔细、卖力观察其题型特征然后再取舍恰当的方法正常优先考虑干脆法函数单调性法和根基不等式法然后才考虑用其他各种特殊方法。【例题综合分析】例、求下列函数的值域:()()()()()()()()()解:()法一:公式法(略)法二:(配方法)∴的值域为.【拓展】求函数的值域.解:(利用函数的单调性)函数在上单调增∴当时原函数有最小值为当时原函数有最大值为.∴函数的值域为.()求复合函数的值域:设()则原函数可化为.又∵∴故∴的值域为.()(法一)反函数法:的反函数为其定义域为∴原函数的值域为.(法二)分离变量法:∵∴∴函数的值域为.()换元法(代数换元法):设则∴原函数可化为∴∴原函数值域为.注解:归纳型值域变形:或()三角换元法:∵∴设则∵∴∴∴∴原函数的值域为.()数形结合法:∴∴函数值域为.()判别式法:∵恒缔造∴函数的定义域为.由得:①①当即时①即∴②当即时∵时方程恒有实根∴∴且∴原函数的值域为.()∵∴∴当且仅当时即时等号缔造.∴∴原函数的值域为.()(法一)方程法(函数有界性):原函数可化为:∴(此中)∴∴∴∴∴原函数的值域为.(法二)数形结合法:可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范畴、解略.例、若关于的方程有实数根求实数的取值范畴、.(综合)解:原方程可化为令则又∵在区间上是减函数∴即故实数的取值范畴、为:.例、求函数的值域。(换元法、不等式法)解:令则()当时当且仅当t=即时取等号所以()当t=时y=。综上所述函数的值域为:注:先换元后用不等式法?【拓展练习】(共题附答案)一、取舍题、下列函数中值域是(∞)的函数是A.B.C.D.、已知(是常数)在上有最大值那么在上的最小值是A.B.C.D.、已知函数在区间m上有最大值最小值则m的取值范畴、是A、∞)B、C、(∞D、、(年天津卷文理)若函数在区间上的最大值是最小值的倍则a=ABCD、(年湖北卷理)函数上的最大值与最小值之和为a,则a的值为(A)(B)(C)(D)、若则的最小值是的最大值是、已知函数的值域为R则实数的取值范畴、是、下列函数的值域分别为:()()()()()()()()、已知函数的值域为求实数的值。、已知二次函数得志条件:且方程有等根⑴求的解析式⑵是否存在实数使得的定义域为值域为。、已知函数()当时求函数的最小值()若对任意EMBEDEquation恒缔造试求实数的取值范畴、。答案:同步练习g函数的最值与值域、DDDAB、  、,()(,)()()R()、()()()()、函数的值域为.(分离常数法)、若函数在上的最大值与最小值之差为则.(函数单调性法)【拓展练习】((((()一、取舍题、函数y=x(x≤-)的值域是()(函数单调性法)A(-∞,-EMBEDEquationB[-,∞C[,∞D(-∞,-]、函数y=x的值域是()(换元法)(配方法)A(-∞,B(-∞,-CRD[,∞、函数f(x)=axloga(x)在[,]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为()((((()ABCD、函数y=logxlogx(x)的值域是()((((()A(∞,]B[,∞)C[,]D(∞,]∪[,∞)、已知f(x)是奇函数,且当x<时,f(x)=xx若当x∈[,]时,n≤f(x)≤m恒缔造,则mn的最小值为()ABCD、把长为cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是()AcmBcmCcmDcm、在区间[,]上,函数f(x)=xbxc与函数同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间[,]上的最大值为()ABCD、若方程xaxb=有不小于的实根,则ab的最小值为()ABCD、函数的最小值为()ABCD、设a>,函数f(x)=logax在区间[a,a]上的最大值与最小值之差为,则a等于()ABCD、设a、b∈R,ab=,则ab的最小值是()ABCD、若动点(x,y)在曲线(b>)上变化,则xy的最大值为()ABCDb、设a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x|,|x|}(x∈R)的最小值是、规定记号“Δ”表示一种运算,即,a、b∈R若Δk=,则函数f(x)=kΔx的值域是、已知函数f(x)=logx,x∈[,],则函数y=[f(x)]f(x)的值域为、若变量x和y得志条件则z=xy的最小值为的取值范畴、是、求下列函数的值域:((()()y=xx,x∈[,)()()、(山东烟台高三模块检测,)设函数(a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x)()若方程f(x)=有两个实根分别为和,求f(x)的表达式()若g(x)在区间[,]上是单调递减函数,求ab的最小值【答案】、解析:f(x)=axloga(x)是单调递增(减)函数〔因素是y=ax与y=loga(x)单调性相同〕,且在[,]上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f()f()=alogaaloga=a,∴loga=∴答案:B、解析:y=logxlogx(x)=∵,∴∈(∞,]∪[,∞)故选D、解析:设x>,则x<,∴f(x)=f(x)=[(x)(x)]=xx∴在[,]上,当时f(x)max=,当x=时f(x)min=∴m≥且n≤故mn≥答案:A、解析:设此中一段长为x,则另一段为x,则所折成的正三角形的边长分别为x,x,它们的面积分别为,,则它们的面积之和为,可见当x=时,两个正三角形面积之和的最小值为cm答案:D、解析:,当且仅当x=时,g(x)min=,∴f(x)=(x)∴在区间[,]上,f(x)max=f()=故选D、解析:将方程xaxb=看作以(a,b)为动点的直线l:xabx=的方程,则ab的几何意义为l上的点(a,b)到原点O(,)的距离的平方,由点到直线的距离d的最小性知ab≥d=(x≥),令u=x,易知(u≥)在[,∞)上单调递增,则f(u)≥f()=,∴ab的最小值为故选B、解析:f(x)=|x||x|…|x||x||x|…|x||x|,由|ab|≤|a||b|(当且仅当a·b≤时取等号),得|x||x|≥|xx|=,|x||x|≥|xx|=,…|x||x|≥|xx|=,|x|≥上面各式当x=时同时取等号,∴f(x)最小值为…=答案:C、解:由a>知f(x)为增函数,所以logaalogaa=,即loga=,解得a=所以选D、解析:∵,故令,,∴∴ab的最小值为答案:C、解析:令x=cosθ,y=bsinθ,则xy=cosθbsinθ=sinθbsinθ=()当<即<b<时,xy取最大值,此时当即b≥时,xy的最大值为b,此时sinθ=故选A、解析:如右图所示,函数y=max{|x|,|x|}的图象为图中实线部分,∴max{|x|,|x|}的最小值为答案:、解析:由题意,解得k=,∴而在[,∞)上递增,∴f(x)≥答案:[,∞)、解析:∵f(x)=logx,x∈[,],∴y=[f(x)]f(x)的定义域为解得≤x≤,即定义域为[,]∴≤logx≤又y=[f(x)]f(x)=(logx)logx=(logx)logx=(logx),∵≤logx≤,∴≤y≤故函数的值域为[,]答案:[,]、解析:如图作出可行域,易知将直线DE:xy=平移至点A(,)时目标函数z=xy取得最小值,即zmin=×=,表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH绕原点逆时针方向转动到AB方位,斜率变得越来越大,故=kGH<≤kAB=答案:(,]、解:()y=xx=(x),∵x∈[,),∴由图象知函数的值域为{y|≤y<}()===∵≠,∴y≠∴函数的值域为{y∈R|y≠}()令,则x=t(t≥),∴y=(t)t=tt=()∵t≥,∴y≥∴函数的值域是[,∞)、解:()遵循导数的几何意义知f(x)=g′(x)=xaxb,由已知、是方程xaxb=的两个实数,由韦达定理,∴f(x)=xx()g(x)在区间[,]上是单调减函数,∴在[,]区间上恒有f(x)=g′(x)=xaxb≤,即f(x)=xaxb≤在[,]上恒缔造,这只需得志即可,也即而ab可视为平面区域内的点到原点距离的平方,此中点(,)距离原点最近,∴当时,ab有最小值【拓展练习】、函数的值域是()(((()A.B.)C.(D.()、若函数的定义域和值域都是则的值为()((((()A.B.C.D.、已知定义在闭区间,a上的函数y=xx若y的最大值是最小值是则a的取值范畴、是(((()、函数y=xxa在,上的最小值是则a=若最大值是则a=、已知函数的值域分别是集合P、Q则()(((()(根判别法)A.pQB.P=QC.PQD.以上答案都不对、函数的值域是()(((()(配方法)A.B.C.-D.-、若函数的定义域是()A.B.C.D.,∞、求下列函数的值域:①②y=|x||x|③④⑤、设函数(Ⅰ)若定义域限制为求的值域(Ⅱ)若定义域限制为时的值域为求a的值、若函数的值域为-求a的值一、取舍题.若函数y=x的定义域是P={,,}则该函数的值域是(  )A.{,,}        B.{,,}C.{,log}D.{,log}.定义在R上的函数y=f(x)的值域为ab则y=f(x+)的值域为(  )A.abB.a+b+C.a-b-D.无法确定.函数y=eqf(x,x+x+)(x>)的值域是(  )A.(+∞)B.(eqf(,))C.(eqf(,)D.eqf(,)+∞).函数y=x-x+在区间m上有最大值最小值则m的取值范畴、是(  )A.+∞)B.,C.(-∞D.,.若函数y=f(x)的值域是eqf(,)则函数F(x)=f(x)+eqf(,f(x))的值域是(  )A.eqf(,)B.eqf(,)C.eqf(,)eqf(,)D.eqf(,).(·海南宁夏高考)用min{abc}表示abc三个数中的最小值.设f(x)=min{xx+,-x}(x≥)则f(x)的最大值为(  )A.B.C.D.二、填空题(每小题分共分).函数y=eqf(x-,x-)的值域是{y|y≤或y≥}则此函数的定义域为..已知f(x)的值域是eqf(,)eqf(,)g(x)=f(x)+eqr(-f(x))则y=g(x)的值域是..函数f(x)=eqr(x-x)+eqr(x-x+)的最小值为..(·泉州质检)在实数的运算法则中我们补充定义一种新运算“”如下:当a≥b时ab=a当a<b时ab=b则函数f(x)=(x)·x-(x)(x∈-,)的最大值是.【答案】、解析:由题意得当x=时x=当x=时x=当x=时x=即函数的值域为{,,}故应选B答案:B、解析:∵函数y=f(x+)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移个单元得到的其值域不改变∴其值域仍为ab故应选A答案:A、解析:由y=eqf(x,x+x+)(x>)得<y=eqf(x,x+x+)=eqf(,x+f(,x)+)≤eqf(,r(x·f(,x))+)=eqf(,)因此该函数的值域是(eqf(,)选C、解析:x=时y取最小值令y=得x=或x=故≤m≤答案:D、解析:令t=f(x)则t∈eqf(,)F(t)=t+eqf(,t)遵循其图象可知:当t=时F(x)min=F(t)min=F()=当t=时F(x)max=F(t)max=F()=eqf(,)故其值域为eqf(,).答案:B、解析:令x=x+?x<(舍)或x=令x=-x即x+x=则<x<则可知f(x)的大致图象如图所示.故f(x)≤即选C答案:C、解析:y=eqf(x-,x-)=+eqf(,x-)即eqf(,x-)≤-或eqf(,x-)≥由eqf(,x-)≤-?eqf(,)≤x<由eqf(,x-)≥?<x≤eqf(,)答案:eqf(,))∪(eqf(,)、解析:∵f(x)∈eqf(,)eqf(,)则f(x)∈eqf(,)eqf(,)-f(x)∈eqf(,)eqf(,).令t=eqr(-f(x))∈eqf(,)eqf(,)则f(x)=eqf(-t,)g(x)=eqf(-t,)+t即g(x)=eqf(-t+t+,)对称轴t=g(x)在t∈eqf(,)eqf(,)上单调递增g(x)∈eqf(,)eqf(,).答案:eqf(,)eqf(,)、解析:由eqblc{rc(avsalco(x-x≥,x-x+≥))?eqblc{rc(avsalco(x≥或x≤,x≥或x≤))∴x≥或x≤又x∈+∞)时f(x)单调递增?f(x)≥f()=+eqr()而x∈(-∞时f(x)单调递减?f(x)≥f()=+=故最小值为+eqr()答案:+eqr()、解析:【拓展练习】一、取舍题函数y=x-x的定义域为{,,,}那么其值域为(  )A{-,,}       B{,,,}C{y|-≤y≤}D{y|≤y≤}若函数f(x)=(a-a-)x+(a-)x+的定义域和值域都为R则a的取值范畴、是(  )Aa=-或a=Ba=-Ca=Da不存在已知函数f(x)=lg(-x)的定义域为Mg(x)=eqr(x-)的定义域为N则M∩N=(  )AMBNC{x|≤x<}D{x|-≤x<}(·江西高考)函数y=eqf(r(-x-x+),x)的定义域为(  )A-,     B-,)C(,D-,)∪(,若函数f(x)的值域为eqf(,)则函数F(x)=f(x)+eqf(,f(x))的值域是(  )Aeqf(,)Beqf(,)Ceqf(,)eqf(,)Deqf(,)(·南通模拟)若函数y=f(x)的值域是,则函数F(x)=-f(x+)的值域是(  )A--B-,C--D,二、填空题函数f(x)=eqf(ln(+x-x),|x|-x)的定义域为    函数的值域:y=eqr(-x-x-)为    已知函数f(x)=eqf(,|x|+)-的定义域是ab(ab∈Z)值域是,则得志条件的整数数对(ab)共有    个三、解答题求下列关于x的函数的定义域和值域:()y=eqr(-x)-eqr(x)()y=log(-x+x)()  【答案】、解析:把x=,,,分别代入y=x-x即y=-,答案:A、解析:依题意应有答案:B、解析:M={x|-x>}={x|x<}N={x|x-≥}={x|x≤-}则M∩N=N答案:B、解析:要使y=eqf(r(-x-x+),x)有意义只要所以所求定义域为-,)∪(,答案:D、解析:令f(x)=tt∈eqf(,)问题转化为求函数y=t+eqf(,t)在eqf(,)的值域又y′=-eqf(,t)=eqf(t-,t)当t∈eqf(,)y′≤y=t+eqf(,t)为减函数在,y′≥y=t+eqf(,t)在,上为增函数故t=时ymin=t=时y=eqf(,)为最大∴y=t+eqf(,t)t∈eqf(,)的值域为eqf(,)答案:B、解析:∵≤f(x)≤∴≤f(x+)≤∴-≤-f(x+)≤-∴-≤F(x)≤-答案:A、解析:由即-<x<状元源:(-,)、解析:设μ=-x-x-(μ≥)则原函数可化为y=eqr(μ)又∵μ=-x-x-=-(x+)+≤∴≤μ≤故eqr(μ)∈,∴y=eqr(-x-x-)的值域为,答案:,、解析:由≤eqf(,|x|+)-≤即≤eqf(,|x|+)≤得≤|x|≤得志整数数对的有(-,)(-,)(-,)(,)(-,)共个答案:、解:()要使函数有意义则∴x函数的定义域为,来源:学科网∵函数y=eqr(-x)-eqr(x)为减函数∴函数的值域为-,()要使函数有意义则-x+x>∴<x<∴函数的定义域为(,)又∵当x∈(,)时-x+x∈(,∴log(-x+x)∈(-∞即函数的值域为(-∞()函数定义域为{,,,,,}函数值域为{,,,,,}?unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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